Mirza Nur Hidayat

Home
Scilab
About
Komputasi Integrasi Numerik (2): Metode Midpoint

Bahasan ini merupakan bahasan kedua tentang komputasi integrasi numerik.

Seperti telah diuraikan pada bahasan pertama, sebuah fungsi f(x), dengan axb, maka integral adalah luasan di bawah grafik f(x) dengan batas bawah a dan batas atas b (Gambar 1). Luasan ini ditunjukkan sebagai area yang diarsir dengan warna biru dan merah.

Dalam teori analisis numerik - metode Midpoint, solusi integral tersebut diselesaikan dengan menggunakan pendekatan dengan h = b - a.
Pendekatan metode Midpoint memberikan hasil integral yaitu luasan area arsiran warna biru ditambah dengan area arsiran warna hijau. Sehingga, metode ini memberikan eror atau selisih sebesar luasan area arsiran warna merah dikurangi area arsiran warna hijau).

Contoh kasus: Tentukan .

Jawab

Sebagaimana telah diuraikan di bahasan pertama, baik secara analitis matematis maupun integrasi numerik dengan menggunakan "fungsi internal"
intg
pada Scilab, penyelesaian integral . Hasil ini merupakan luasan area arsiran warna biru dan merah pada Gambar 2.

---------------------------

Nah, pada pembahasan ini, akan diselesaikan dengan komputasi numerik - metode Midpoint.
Dengan memanfaatkan persamaan metode Midpoint di atas, yaitu dengan h = b - a, di jendela SciNotes diketik kode program:

function y = f(x)
    y = x ^ 2
endfunction

a = 2;
b = 5;

h = (b - a);

I = h * f((a + b) / 2);

disp(I)  

Jika kode program di atas dieksekusi akan memberikan output:
36.75
.
Nilai ini merupakan luasan area arsiran warna biru ditambah dengan area arsiran warna hijau - Gambar 2. Jadi, dengan metode numerik Midpoint, nilai eror dari integral tersebut adalah 39 - 36,75 = 2,25. Cukup besar bukan?

Nah, untuk memperkecil nilai eror, dibuatlah metode Midpoint dengan jumlah cacah n. Pada Gambar 3, terlihat dengan jumlah cacah n = 3, terlihat bahwa nilai eror terlihat lebih sedikit dibanding dengan n = 1 (Gambar 2).

Bagaimanakah komputasi integrasi numeriknya? berikut kode di jendela SciNotes-nya.
function y = f(x)
    y = x ^ 2
endfunction

a = 2;
b = 5;

n = 3;

h = (b - a) / n;

I = 0;

for i = 1:n
    
    ai = (a - h) + (i * h)
    bi = ai + h
    
    Ii = h * f((ai + bi) / 2);
    
    I = I + Ii
    
end

disp(I)

Jika kode program di atas dieksekusi akan memberikan output:
38.75
.
Jika pada kode program
n
=
10
, maka output:
38.9775
.
Jika
n
=
100
, maka output:
38.999775
.
Jika
n
=
1000
, maka output:
38.999998
.
Dan jika pada kode program
n
=
2122
, maka output:
39.
.
Jadi, dengan memperbanyak jumlah cacah n, maka hasil komputasi integrasi numerik - metode Midpoint akan mendekati nilai eksak-nya.

Met mencoba guys!