Mirza Nur Hidayat

Home
Scilab
About
Komputasi Integrasi Numerik (1): Metode Trapezoida

Bahasan ini merupakan bahasan pertama tentang komputasi integrasi numerik. Ada tiga bahasan yang akan ditulis berkenaan dengan tema ini, yaitu komputasi integrasi numerik dengan metode Trapezoida, metode Midpoint, serta metode Simpson.

Sebuah fungsi f(x), dengan axb, maka integral adalah luasan di bawah grafik f(x) dengan batas bawah a dan batas atas b (Gambar 1). Luasan ini ditunjukkan sebagai area yang diarsir dengan warna merah.

Dalam teori analisis numerik - metode Trapezoida, solusi integral tersebut diselesaikan dengan menggunakan pendekatan dengan h = b - a.
Pendekatan metode Trapezoida memberikan hasil integral yaitu luasan area arsiran warna merah ditambah dengan area arsiran warna hijau. Sehingga, metode ini memberikan eror atau selisih sebesar luasan area arsiran warna hijau (hasil eksak integral adalah area arsiran warna merah).

Contoh kasus: Tentukan .

Jawab

Secara analitis matematis, penyelesaian integral tersebut adalah: . Hasil ini merupakan luasan area arsiran warna merah pada Gambar 2.

Sedangkan penyelesaian integrasi numerik dengan menggunakan "fungsi internal"
intg
pada Scilab yaitu:

-->function y = f(x)
-->y = x ^ 2
-->endfunction

-->intg(2, 5, f)
 ans  =
 
    39. 

Cukup sederhana bukan? Dengan memanfaatkan "fungsi internal"
intg
pada Scilab, .

---------------------------

Nah, pada pembahasan ini, akan diselesaikan dengan komputasi numerik - metode Trapezoida.
Dengan memanfaatkan persamaan metode Trapezoida di atas, yaitu dengan h = b - a, di jendela SciNotes diketik kode program:

function y = f(x)
    y = x ^ 2
endfunction

a = 2;
b = 5;

h = (b - a);

I = (h / 2) * (f(a) + f(b));

disp(I)  

Jika kode program di atas dieksekusi akan memberikan output:
43.5
.
Nilai ini merupakan luasan area arsiran warna merah (nilai integral eksak) ditambah dengan area arsiran warna hijau (nilai eror) - Gambar 2. Jadi, dengan metode numerik Trapezoida, nilai eror dari integral tersebut adalah 43,5 - 39 = 4,5. Cukup besar bukan?

Nah, untuk memperkecil nilai eror, dibuatlah metode Trapezoida dengan jumlah cacah n. Pada Gambar 3, terlihat dengan jumlah cacah n = 3, terlihat bahwa nilai eror (area arsiran warna hijau) terlihat lebih sedikit dibanding dengan n = 1 (Gambar 2).

Bagaimanakah komputasi integrasi numeriknya? berikut kode di jendela SciNotes-nya.
function y = f(x)
    y = x ^ 2
endfunction

a = 2;
b = 5;

n = 3;

h = (b - a) / n;

I = 0;

for i = 1:n
    
    ai = (a - h) + (i * h)
    bi = ai + h 
    
    Ii = (h / 2) * (f(ai) + f(bi))
    
    I = I + Ii
       
end

disp(I)

Jika kode program di atas dieksekusi akan memberikan output:
39.5
.
Jika pada kode program
n
=
10
, maka output:
39.045
.
Jika
n
=
100
, maka output:
39.00045
.
Jika
n
=
1000
, maka output:
39.000005
.
Dan jika pada kode program
n
=
3000
, maka output:
39.
.
Jadi, dengan memperbanyak jumlah cacah n, maka hasil komputasi integrasi numerik - metode Trapezoida akan mendekati nilai eksak-nya.

Met mencoba guys!